Quants quadrats hi ha al perímetre d’aquesta figura?
I si enlloc de tenir 6 quadrats de costat en tingués 7?
I si en tingués 8?
I si en tingués 43?

Arribats fins aquí s’indueix la necessitat d’usar un mètode, de generalitzar l’estratègia. Així doncs…

I si el costat tingués un nombre qualsevol de quadrats, posem per cas n quadrats, podríem expressar el nombre de quadrats del perímetre en funció de n?

Sí, poden i surten diverses expressions algebraiques fruit de les diferents estratègies d’aprenentatge de cadascú.

Si totes les expressions són correctes (es poden comprovar amb els casos anteriors), com és possible que surtin diferents expressions?

Les escrivim totes a la pissarra i surt un representant de cada expressió algebraica a explicar què ha pensat per arribar a aquesta solució.

Revisem conjuntament les explicacions dels representants, i també podem assegurar-nos de que totes són correctes donat comprovant els casos n=6, 7, 8 i 43 de l’inici.

I doncs, si totes les expressions algebraiques són correctes, per què són diferents?

Sabem que són iguals però no per què, es crea la necessitat de trobar un lligam entre les diferents expressions, de manipular-les algebraicament.

Arribats fins aquí, fixem la manipulació d’expressions algebraiques?

Crèdits: A partir d'una idea (més completa) de l'Abraham de la Fuente.

Després del primer contacte amb l’ús de símbols per representar quantitats, traduïm expressions literals a llenguatge matemàtic.

El doble d’una quantitat (2·n), o la meitat (n/2).
El següent nombre d’un nombre donat (n+1).
Un nombre multiplicat per quatre més tres (4·n+3).
Tres més un nombre tot multiplicat per dos ((3+n)·2).
La suma de tres nombres consecutius (n+1+n+2+n+3).
Un nombre multiplicat per si mateix (n·n, o n² si escau).

I segueixo amb aquesta petita activitat sense paraules per introduir el valor numèric:

Veieu aquesta taula?

Podeu fer dues coses, (1) sortir i col·locar un número nou o (2) si creieu que hi ha algun que estigui malament, sortir i corregir-lo. Us asseguro que els que hi són tots correctes.

Hi ha una regla d’or: silenci sepulcral. Fins i tot quan detecteu un error, l’única manera de corregir-lo és demanar torn i sortir a la pissarra.

Qui sàpiga col·locar un número que aixequi el braç. Algú vol començar?

Si ningú aixeca el braç, poso jo el primer número. Als meus alumnes els ha encantat aquesta activitat. I a mi també, es crea una dinàmica de participació molt maca.

L’inici de l’àlgebra és possiblement el moment en que més alumnes desconnecten per sempre més de les matemàtiques, el salt d’abstracció per representar  i operar amb quantitats desconegudes.

Una proposta d’aula en tres passos.

El primer:

Agafeu paper i boli.

Farem el típic truc de màgia d’endevinar un número, però avui el més important no serà el truc, sinó entendre perquè funciona. Diuen que un bon mag no revela mai els seus trucs, però això no és màgia, són matemàtiques [somriuen].

Penseu un número qualsevol, feu-vos venir bé, haureu de fer uns quants càlculs. És important que no digueu el vostre número a ningú fins al final.

Tothom té el número? Fulanito, quin número has triat? No t’he dit que no el diguessis a ningú fins al final!!?? Tria un altre! [somriuen]

Som-hi. Al “número que heu triat” sumeu-li 4. El que us hagi donat ho multipliqueu per 3. Resteu 6. Dividiu entre 3. Resteu el “número que havíeu triat”.

A la de 1, 2 i 3 tothom dirà el número que li ha donat el veu alta. 1, 2, 3!! Doooooooooooooooooooooooooos! [somriuen]

L’efecte no és per tirar coets, la majoria ja coneixen aquests tipus de trucs. Fins aquí la màgia, però ara comença la part més interessant: les matemàtiques.

Demano que es posin al meu lloc. Cadascú ha fet els seus càlculs, amb el “número que has triat”, fàcil, però… i jo? Com ho he fet? Com he pogut fer càlculs amb tots els “números que ells han triat”? Els dic:

No sóc mag, ni sóc més llest que vosaltres, però sé més matemàtiques [somriuen].

Explico que no puc fer tots els càlculs simultàniament, però sé com fer tots els càlculs en paral·lel.

No sé quin número heu triat cadascú de vosaltres, i alhora són diferents. Què us sembla si al “el nombre que heu triat” li diem x?

I resseguim els passos a la pissarra:

És la primera vegada que veuen el expressions algebraiques, els costa seguir alguns passos, però per qüestions procedimentals, en general ningú perd el fil del que estem fent, que és el que més m’interessa, perquè amb aquesta petita dinàmica (20 minuts) tan sols pretenc visualitzar la potència de l’àlgebra com a generalització de l’aritmètica, la possibilitat de realitzar infinits càlculs de cop, o dit d’una altra manera, operar amb quantitats desconegudes.

La màgia és matemàtica o les matemàtiques són màgiques? [somriuen]

Sabríeu fer el vostre truc de màgia?

Crèdits. Interpretació personal d’una idea de l’Anton Aubanell.

 30-8-15. Si ara tornés enrere representaria “el nombre que has triat” amb una capseta (◊) on està ficat el nombre.

Parlar de manera precisa és difícil, i observo que als meus alumnes els costa explicar els seus raonaments. Sovint fan servir expressions vagues, poc polides. Alhora, m’encanta quan la necessitat de comunicar una idea pròpia requereix emprar vocabulari específic, matemàtic. Aquesta necessitat és una oportunitat perquè se sentin part del llenguatge, els ajuda a fer-se entendre.

No és una trivialitat, una de les dimensions de les competències de l’àmbit matemàtic és Comunicació i representació, i dues competències en fan referència explícita:

C10. Expressar idees matemàtiques amb claredat i precisió i comprendre les dels altres.
C11. Emprar la comunicació i el treball col·laboratiu per compartir i construir coneixement a partir d’idees matemàtiques.

Fa temps que dono voltes a una activitat on l’objectiu principal sigui, simplement, comunicar amb precisió fent necessari l’ús de llenguatge matemàtic.

Què podem fer amb això (qpfaa)?

Descriu aquest gif animat.
Paraules clau: quadrat, rectangle, circumferència, meitat, oposat, color, tangent, punt mig, àrea.

Altres opcions:

paraules clau
quadrat, vèrtex, sentit, costat

paraules clau
esfera, meridià, rotació, pol, segment

paraules clau
fractal, triangle equilàter, punt mig, infinit

paraules clau
circumferència, projecció…

paraules clau
fractal, triangle equilàter, punt mig, infinit

paraules clau
velocitat, semicircumferència, radi

Crèdits. Els gifs són dels seus autors, i ja no recordo d’on els vaig treure… 🙁

Els dies 26, 27, 28 i 29 d’agost estaré a Montpol per trobar-me a un grup de persones amb les que comparteixo l’entusiasme per l’educació. Ets tu una d’aquestes persones?

És una trobada oberta a tothom per crear, desenvolupar i potenciar idees i projectes relacionades amb l’educació.

Les característiques del #betacamp són un missatge en sí mateix: el contingut s’estructura a partir de les propostes de treball (nodes) de les persones participants, les dinàmiques de relació i participació volen afavorir la col·laboració i l’intercanvi, (3) està centrada en l’acció, no en el discurs, és una trobada per fer, no per escoltar.

Participaré a dos nodes de treball:

Recursos low-cost amb high-benefici educatiu, amb Andrea Richter i Salvador Chiva.
Papers de colors, impressora i tisores, i quatre dies per crear i replicar materials didàctics, fer-ne provatures, pensar com usar-los, preparar propostes d’aula…

Més info aquí.

Desatomització de l’aprenentatge de les matemàtiques, amb Abraham de la Fuente, Jordi Font i Andrea Richter.
És difícil caracteritzar una “bona activitat” matemàtica, però les que ens agraden sovint comporten algun tipus d’experimentació, viuen en la intersecció de diversos blocs curriculars, parteixen d’una pregunta, proposen un camp a explorar… En aquest node ens proposem pensar com estructurar el que fem amb els nostres alumnes a partir d’aquestes activitats, com crear seqüències de “bones activitats” que recobreixin grans parts del currículum.

Més info aquí.

Estaré en bona companyia treballant en aquests dos nodes, interessant-me per la feina d’altres nodes i col·laborant en el que es pugui.

Ens trobem al #betacamp?
Pots reservar al teva plaça a betacamp.cat.