Quants quadrats hi ha al perímetre d’aquesta figura?
I si enlloc de tenir 6 quadrats de costat en tingués 7?
I si en tingués 8?
I si en tingués 43?

Arribats fins aquí s’indueix la necessitat d’usar un mètode, de generalitzar l’estratègia. Així doncs…

I si el costat tingués un nombre qualsevol de quadrats, posem per cas n quadrats, podríem expressar el nombre de quadrats del perímetre en funció de n?

Sí, poden i surten diverses expressions algebraiques fruit de les diferents estratègies d’aprenentatge de cadascú.

Si totes les expressions són correctes (es poden comprovar amb els casos anteriors), com és possible que surtin diferents expressions?

Les escrivim totes a la pissarra i surt un representant de cada expressió algebraica a explicar què ha pensat per arribar a aquesta solució.

Revisem conjuntament les explicacions dels representants, i també podem assegurar-nos de que totes són correctes donat comprovant els casos n=6, 7, 8 i 43 de l’inici.

I doncs, si totes les expressions algebraiques són correctes, per què són diferents?

Sabem que són iguals però no per què, es crea la necessitat de trobar un lligam entre les diferents expressions, de manipular-les algebraicament.

Arribats fins aquí, fixem la manipulació d’expressions algebraiques?

Crèdits: A partir d'una idea (més completa) de l'Abraham de la Fuente.

Captar l’atenció, despertar l’interès:

Tria una gràfica i dues variables d’aquesta llista: amor, temperatura, felicitattemps, alçada, velocitatdistància, punts i diners.

Escriu un microrelat que sigui coherent amb la tria que has fet.

L’activitat se’ns va acudir de manera quasi-involuntària amb l’Andrea Richter a partir d’idees d’aquí i d’allà. No l’he posada en pràctica, si algú vol fer-la servir el feedback seria motiu d’alegria. O si a algú se li acudeix algun microrelat…

Perquè m’agrada aquesta activitat?

  • Parteix d’un impuls simple, el foc s’encén ràpid i no cal res més que paper i boli per entrar dins de l’activitat.
  • No hi ha una resposta única, no hi ha respostes correctes-incorrectes, hi ha microrelats més elaborats, encertats, creatius… ningú queda exclòs en aquesta proposta.
  • Personalitza, tants caps, tants microrelats personals i diferents, permet diferents graus d’aprofundiment o d’exhaustivitat.
  • Permet pensar creativament, l’activitat no marca una línia estreta que esperem que ressegueixin sinó que obre un camp per explorar.

Possibles dinàmiques d’aula:

  • Crear el microrelat a partir de les pautes donades. També es pot deixar lliure l’elecció de variables o fer servir altres gràfiques.
  • Llegir el microrelat, indicar gràfica i variables implicades. Justificar la coherència de la tria. El microrelat s’ajusta a la gràfica? Hi ha alguna altra gràfica que s’hi adapti?
  • [destacat] Llegir el microrelat a l’aula sense dir quina gràfica hi està implicada. La resta del grup ha d’identificar gràfica i variables justificant la resposta.
  • Fer un concurs de microrelats i difondre el resultat pel centre (aula, passadís, Sant Jordi…) i per la xarxa (web del centre, Twitter…).

Imatge extreta del magnífic llibre El lenguaje de funciones y gráficas. Shell Center for Mathematical Education.

    

Aquesta setmana he fet una activitat que m’ha funcionat molt bé. Reconec que em movien més les ganes de provar la meva nova joguina que l’activitat en sí. Per això m’ha sorprès l’èxit, ara, després de fer-la i de pensar-hi una mica, m’adono que és una activitat petita i potent. M’ha resultat molt útil per iniciar la classe, per entrar en clímax de treball, per fer oblidar la bogeria del patí.

Consisteix en un senzill exercici numèric combinat amb una dinàmica de participació que el fa més atractiu. L’activitat parteix del panell del pictograma. Presento la graella de la centena, els explico que, entre d’altres coses, serveix per contenir els nombres de l’1 al 100. Mostro que hi ha uns nombres ja col·locats (de color vermell), insisteixo en que estan col·locats al seu lloc, i els dic que tenen prou informació per col·locar la resta de números.

Arribats aquí explico la dinàmica (que he tret d’aquí):

  • Qui vulgui participar ha d’alçar el braç.
  • Qui surt pot triar entre dues opcions: (1) agafar un número a l’atzar i col·locar-lo allà on cregui que va, o bé (2) modificar un (i només un) nombre dels que hi ha la graella si creu que està malament.
  • Durant tot l’exercici no es pot comentar res en veu alta.

És tan difícil com clau mantenir el silenci mentre van sortint, sobretot si hi ha nombres fora de lloc. Tots/es volen dir la seva quan detecten un error, i fer notar que estaven al cas quan es rectifica una errada. És necessari fer-los veure la importància de respectar el silenci, d’aquesta manera tothom pot tenir una relació personal amb la graella i no es pertorba el pensament dels demés. Alhora, és el que manté la tensió de l’activitat, tothom pot trobar el seu moment per entrar.

Hi ha un punt en què s’adonen que la graella té 121 caselles, i no 100, com la majoria han pressuposat, descobreixen llavors que no totes les caselles han d’estar plenes. Arribat aquest punt comencen a no fer errades i seguir col·locant nombres no aporta gaire, és el moment de parar. Ells/es tenen ganes de seguir, tots/es han descobert algun patró, han creat les seves regles i ho volen seguir demostrant, cada nombre és un petit èxit.

L’activitat no ha acabat, els dic. És el moment de posar en comú els descobriments que han fet. Què heu descobert? Per què al principi fallàvem i ara ja no? Quines regles, quins patrons heu trobat? Què us has fet adonar? Qui vol explicar algun descobriment? Sorpresa: quasi tots els braços alçats. Normalment em costa aconseguir que exterioritzin els seus pensaments.

Resulta impossible reproduir les converses que s’han donat, als quatre grups (1r d’ESO) han estat riques i similars, però cada conversa ha tingut personalitat pròpia. Alguns dels seus descobriments:

  • La graella té 11 nombres a cada costat, si hi van els nombres de l’1 al 100, en sobra un “per cada banda”. Tots descobreixen això gràcies al silenci i la relació personal amb la graella.
  • Els nombres de la columna 5 acaben en 5. Els nombres de la columna 2 acaben en 2. … I pregunto, se us acudeix com generalitzar aquesta regla per totes les columnes? Sí, se’ls acudeix.
  • Se us acudeix una regla similar per les files? Costa més, però sí, se’ls acudeix. Els nombres de la fila 3 comencen per 2. Podem generalitzar-la?

Estic segur que se’n poden treure moltes coses més.

En general s’expliquen malament, fan servir paraules errònies (no diferencien entre files i columnes), s’expressen amb imprecisió (abusen dels adverbis això, allò…), etc. Ara m’adono que les normes per vetllar per un bon ambient d’aula m’han servit a mi per canviar la manera d’afrontar aquestes converses. Abans estava en “busca i captura” de la resposta perfecta, quasi totes les respostes dels alumnes les trobava incompletes (de fet, ho són), i creia que ajudava els alumnes afegint el que hi trobava a faltar. Ara, mentre expliquen les seves descobertes els faig més preguntes per ajudar-los a matissar les seves paraules, intento estirar de les seves paraules sense rectificar res del que diuen, al contrari, miro de rescatar el que sigui. Darrera de cada resposta hi ha idees potents, ningú no diu res que no cregui que valgui la pena sé dit. Alhora, en aquestes edats, el decalaix entre el que es diu i el que es pensa és brutal, és clau ajudar-los a reduir aquesta distància (dec aquest idea a la meva companya Maria Beneyto).

Nota: No cal disposar del tauler per fer l’activitat, poder tocar els nombres i interaccionar-hi físicament té un valor especial que no sé explicar, tot i així hi ha bones alternatives digitals.

Fa dies que hi penso, m’agradaria fer alguna cosa que sorprengui els alumnes, que els captivi, i crec que tinc una proposta que podria funcionar. Escric aquesta entrada perquè m’encantaria tenir-ne diferents opinions, i m’interessen especialment els punts febles (els comentaris són motiu d’alegria en aquest bloc).

Començar amb bon peu

És relativament habitual començar el curs amb un prova de coneixements previs. La idea és simple i directe, per saber on anem cal saber on som.

Crec una prova de coneixements, en termes conceptuals i procedimentals, m’aportarà informació inevitablement parcial i, alhora, no tinc clar què preguntar a uns alumnes que no conec en un entorn i centre nou per mi; pel que fa a la meva relació amb els/les alumnes, que just comença, i a la seva confiança vers l’assignatura, no estic segur de si posar-los a prova és el més adient; i funcionalment, després del primer dia de classe tindré x examens sobre la meva taula, on x > 100. Quan hagi aconseguit corregir-los segurament hauran passat prou sessions com per comprovar moltes de les coses que pretenia saber.

No dubto que una prova inicial pot aportar informació valuosa, però no tinc clar si es perd més del què es guanya, o si més no, vull provar de començar per una altra banda.

La idea

La idea que em balla pel cap és que el primer dia de classe potser no és tan important conèixer quines matemàtiques saben. Per diferents motius, crec que pot ser més profitós saber quina és la seva relació amb les matemàtiques, com se senten matemàticament, com es descriurien com a matemàtics/ques a partir de les seves pròpies impressions, amb les seves pròpies paraules.

D’altra banda, la imatge social de les matemàtiques és, diguem… millorable, i la relació de l’alumnat amb l’assignatura de matemàtiques està sovint vinculada al jo no puc, al jo no serveixo per això, al això és molt difícil i, com no, al això no serveix per res. Per tot això, crec que seria bonic i adient compartir opinions personals al voltant d’alguns dels mites i dels estereotips que revolotejen les matemàtiques i l’educació matemàtica i que sovint senten les bases de les conviccions dels nostres alumnes.

Les matemàtiques són només pels “llestos”, els nois són millors que les noies, són difícils, són avorrides, no serveixen per a res, estan a tot arreu, els matemàtics són uns frikis… moltes d’aquestes idees poden donar lloc a bones converses que ajudin a fer aflorar les conviccions dels alumnes i em permetin conèixer un perfil del grup.

La proposta ± ε

Visionar un vídeo en el que aniran apareixent adjectius que puguin ajudar a descriure actituds matemàtiques. Cada alumne haurà de triar-ne dos, només dos. Un cop tothom tingui fet la seva tria hauran de presentar-se, dir de quina escola provenen, quins adjectius ha triat i justificar la seva tria.

A mesura que vagin sortint construirem un diagrama de barres amb els adjectius de tal manera que en acabar l’activitat tindrem una representació gràfica del perfil matemàtic del grup.

Aquest és el vídeo-presentació:

Faré el següent:

Passaré  el vídeo una primera vegada per familitzar-se amb els adjectius.
En aquest visionat és important que pensin en el significat dels adjectius i que es comenci a decidir quins ens poden servir. Deixarem uns minuts al final per pensar-hi. Cal aclarir o matissar el significat d’algun adjectiu?

Passaré el vídeo una segona vegada per fer la tria.
En aquest visionat tothom haurà de tenir paper i boli preparat. Els suggeriré que escriguin tots els adjectius que els agradin. Deixarem uns minuts al final per triar-ne només dos adjectius. Un cop triats, hauran d’escriure cada adjectiu en un post-it.

Comencem les presentacions.
Quan tothom tingui els seus dos adjectius comencem una roda de presentacions. Hauran de dir nom, adjectius escollits i motiu de la tria. Voluntaris o voluntàries per començar? Probablement no…

Construïm una descripció gràfica del grup.
Després de presentar-se, cada alumne ha de posar els seus dos post-its de la següent manera. Si l’adjectiu no ha sortit, escriure el nom de l’adjectiu a la pissarra i enganxar el post-it a la seva dreta. Si l’adjectiu ja ha sortit, enganxar el post-it a la dreta de darrer post-it.

Us imagineu el diagrama de barres? M’encanta.

Tinc molts dubtes sobre els adjectius, estic segur que se’n poden trobar de millors. Els que triaré, de moment, seran un subconjunt de la següent llista (són molt benvingudes les propostes). Per qüestions de gènere, els adjectius es refereixen a “persona”:

precisa, persistent, calculadora, pacient, solitària, confiada, optimista, creativa, meticulosa, segura, ordenada, influenciable, activa, reflexiva, intel·ligent, comunicativa, analítica, crítica, escèptica, estimadora, intuïtiva, metòdica

Extensió

En les presentacions dels alumnes poden sorgir bones converses sobre certs estereotips (són freqüents les jo no serveixo per les mates, són molt difícils o no serveixen per res). Es podria estendre aquesta proposta amb una activitat que convidi a reflexionar-ne de manera més explícita. Tan mateix, sóc de la opinió d’en Daniel Ruiz (@druizaguilera) quan diu que els mites i els estereotips “s’han de rompre dia a dia, molts d’ells han de caure amb la pràctica, més que amb la dialèctica”. Gràcies per aquesta idea company.

Es busquen
  • Adjectius que puguin descriure actituds matemàtiques (smoral3@xtec.cat)
  • Idees de millora de la proposta en general, i sobre la proposta d’extensió en particular.
  • Voluntaris per posar-la en pràctica i compartir resultats.

29/8/13. Clara Jiménez (@cjgestal), professora del grau de primària a la Universidad de La Rioja, farà servir una adaptació de l’activitat per iniciar el curs amb els seus alumnes (futuribles mestres) i comenta que:

“Nuestra idea es, además de comentar y debatir sobre las creencias, utilizar los resultados para introducir la idea de moda, descubrir a partir de ahí el conocimiento de las medidas de centralización y de dispersión que tienen y comenzar con el tema. Ver diferentes maneras de representar la información…”

I alhora proposa nous adjectius: invariable, canviant i inflexible. Gràcies Clara, :).

3/9/13. En Frank Sabaté té tota la raó quan diu que “ha trobat a faltar adjectius negatius“. Modificaré la llista incorporant-ne de negatius.

En David Barba i en Jordi Domènech m’han fet observar que potser estaria bé no donar una llista d’adjectius tancada, o si més no, deixar que els alumnes triïn lliurement els seus propis descriptors. És cert que la llista tancada limita les opcions de tria. Per contra, contribueix a comprendre el significat de certs adjectius “no habituals”, i fa possible el clímax del diagrama de barrescosa a la que en cap cas voldria renunciar. És quelcom en el que havia estat rumiant però havia desestimat per falta d’alternatives. Tan mateix, els comentaris del David i el Jordi, així com el de la Pili Royo, m’han fet adonar de la importància d’obrir l’activitat.

Ho faré de la següent manera: de la llista tancada podran escollir tants adjectius com vulguin, però hauran de triar-ne només dos per a la presentació personal (i el diagrama de barres), alhora, deixaré un espai per incloure expressions pròpies, que també podran fer servir en la seva descripció personal. Moltes gràcies a tots tres, així com a la resta de col·legues m’heu fet arribar senyals de vida.

8/9/13. La Laura Morera (@lau_morera) diu:

“L’activitat que proposes és totalment diferent, al principi sembla que sigui més reflexiva i no tant de mates, tot i que clar, està molt relacionat, i lo del diagrama de barres al final, mola! [..] El que em passa és que no veig com acabar l’activitat així i ja està. I d’aquí és quan he intentat fusionar la teva proposta amb la meva.”

Entenc el que dius, i m’agrada. Personalment em satisfà no fer matemàtiques (tot i que potser matisaria aquest expressió), no ho trobo imprescindible tractant-se del primer dia. Si l’activitat em permet trencar el gel, sentir-los parlar (definint-se a si mateixos!), conèixer una mica el perfil “matemàtic” del grup, generar alguna bona conversa al voltant de les matemàtiques, fer aflorar creences i prejudicis… em donaré per satisfet. En cas contrari caldrà repensar-ho… 🙁

“Jo les classes les començo a saco fent problemets divertits. El que m’agradaria es que sense dir res, de que ara relacionarem això amb el que anem a fer, puguis fer-los fer mates per tal de que actuin de forma positiva, i que posteriorment, s’autoanalitzin per adonar-se de que moltes vegades les seves opinions són tòpics negatius, però que si estan pendents del que s’està fent, les seves actituds poden ser reals i positives…”

També m’agrada la idea de començar treballant un problema(s) especialment maco. Tan mateix, fer-ho abans de preguntar-los com son matemàticament pot esbiaixar lleugerament el resultat. No és pas dolent, però el meu objectiu no és fer-los canviar d’opinió (de moment), pretenc conèixer el grup.

“També veig que per fer un anàlisi de la classe com a grup i veure si és un grup positiu o negatiu, a part de veure la moda fixant-se amb la barra més alta, lo xulo podria ser tenir els adjectius graduals d’alguna manera, i que estiguessin ordenats per poder veure tendències més globals com a grup no? Sense dir els noms, però pot ser més una distribució normal, una desplaçada a la dreta o a l’esquerra…”

Estic d’acord, l’activitat es podria estirar en aquesta direcció. És interessant. Tan mateix, és el primer dia de 1r d’ESO, només tinc una hora, em conformo amb fer una activitat de reflexió que doni conclogui amb la representació gràfica del grup i permeti parlar-ne distesament. És sense dubte una bona extensió de l’activitat, i també una oportunitat per reprendre-la més endavant.

“En alguns moments em vaig fer la idea de que m’havia de definir jo respecte les matemàtiques (com quan poses “a mi em costen…”), algunes vegades pensava que podria voler dir què en penses de les mates (com quan poses “són difícils, són pels llestos…”) i al final, quan vaig veure les paraules sembla que m’hagi de definir més jo com a persona “intuitiva, pausada…” Llavors, la recomanació és que quan expliquis de paraula deixis clar que busques, i vagi a la par amb el que està al ppt…”

Segurament no queda clar que els adjectius només es refereixen a com són ells com a “persones”, per això tot estan en femení: persona intuïtiva, persona meticulosa…

Moltes gràcies pels teus comentaris Laura.

15/09/13. La fitxa de treball per l’alumnat.

5/10/13. En Francesc Massich (@massich) proposa que:

“… la mateixa primera activitat que vas pensar per fer amb els teus alumnes nous, es pot reciclar i convertir-se en una “última activitat”. Evidentment, no caldria que els alumnes es tornin a presentar, però a canvi potser podrien afegir algun adjectiu, explicar si els del primer dia i els de l’últim han coincidit i explicar-ne el perquè. Potser només és repetir una activitat, però segurament podria servir per veure l’evolució que han fet els alumnes. La primera activitat no era per veure quin nivell tenien sinó com es sentien i aquesta última es podria encarar en el mateix sentit, per veure quins sentiments els hi han generat les matemàtiques al llarg del curs.”

En algun moment aquesta idea havia passat pel meu cap, qeue en Francesc me la proposi és senyal de que és una bona idea.

30/12/13. Algunes fotografies de companys/es que s’han animat a fer l’activitat i me les han fet arribar. Gràcies a tots i totes!

 

Crèdits de la idea: combinació d'una idea de Lourdes Domenech i d'altres sorgides arrel del mooc #HowToLearnMath de Jo Boaler.