Aquest trimestre estic fent un projecte a 3r d’ESO que es diu Clepsidra. El nom és un tribut a la idea original d’en Carlos Morales Socorro, un professor que val la pena googlejar, i de qui sempre m’ha semblat que és poc conegut comparat amb la qualitat del que fa. Inspirats en aquest complet document la meva companya Blanca i jo l’hem adaptat al nostre context.

Aquesta és la descripció del projecte:

En aquest projecte ens proposem mesurar el temps. Construirem una clepsidra, un rellotge d’aigua. Treballarem com a científics i científiques, no ens creurem res que no puguem demostrar. Experimentarem i recollirem dades, ajustarem un model matemàtic a les dades recollides, analitzarem la validesa, calibrarem el rellotge i finalment comprovarem el seu funcionament. Demanarem a familiars i amics que validin els vostres descobriments, per això els farem arribar un informe descriptiu del procés de treball.

Aquest és el Document d’inici de projecte que conté la informació bàsica del projecte. El donem als nois i noies el primer dia.

I aquests altres documents són útils en algun moment del procés de treball:

Aquí hi ha fotografies d’aula del procés de treball:
https://www.flickr.com/photos/ielesvinyes/albums/72157676208554940

Estic aprenent coses interessants en aquest projecte, fa dies que hi penso i em ronda pel cap un post que possiblement no escriuré mai, i que es titularia Fer ciència amb rigor màxim i eines mínimes. En aquest post divagaria sobre dues idees:

  1. Es pot fer ciència i matemàtiques amb rigor màxim i eines mínimes (tant cognitives com físiques). Sovint confonem el rigor amb el formalisme, el primer és pura dinamita, el segon pur avorriment.
  2. La controvèrsia entre metodologies #abp i Matemàtiques. La idea tan boja aquesta de que els projectes són interessants però que no són un context apropiat per aprendre matemàtiques de veritat.

 

Fa setmanes amb els nois i noies de 2n d’ESO vam fer un treball globalitzat que partia de la pregunta: existeix l’envàs perfecte?

L’objectiu de fons era que cada grup de treball inventi o triï un producte, i pensi un envàs amb una mirada global (funció, estètica i producció). A l’inici vam discutir de què depenia la “perfecció” dels envasos, i durant una setmana cada grup va crear un eslògan, va dissenyar l’etiqueta i l’envàs, va fer un anunci publicitari en anglès i finalment va prototipar i construir un envàs. En paral·lel, també van rebre un taller extern sobre la pressió de grup i la publicitat, i van veure un documental sobre la contaminació produïda pels plàstics.

En aquest vídeo es mostra la comprovació de que els envasos construïts pels diferents grups s’ajusten al requeriment de tenir una capacitat de 750 ml. Els espais en blanc són grups que no van acabar el seu envàs a temps per la gravació.

Aquí la presentació que vam fer servir el Pere Royo i jo per guiar i acompanyar els nois i noies en el disseny, prototipatge i construcció de l’envàs. És incompleta però pot servir per fer-se idea del procés.

Aquí imatges del procés de treball.

Globalitzar no és un caprici, és una necessitat. Genera una relació més real amb el coneixement, i amb l’aprenentatge. El coneixement aïllat dels problemes que resol perd part del seu sentit.

Captura de 2015-10-28 19:20:29

Exceptuant casos comptats, com la declaració de la renda, els problemes a la vida real no parteixen d’un enunciat, ni les variables rellevants venen donades de forma explícita, ni tenen una resposta correcta.

L’objectiu d’aquesta petita activitat d’aula és entrenar la intuïció per estimar, per aproximar, per donar respostes el més correctes possibles fent servir les eines i la informació de què disposem, que a l’aula de matemàtiques a la vida quotidiana o professional sovint no són les que desitgem.

Un cop a la setmana, no més d’un quart d’hora a l’inici d’una sessió, projectem una imatge i fem una estimació associada al contingut d’aquesta imatge.

Vam començar amb aquest exemple: quina és la superfície en km² de Castellbisbal?

Captura de 2015-10-28 19:20:47

I en projectar la imatge demano un silenci que respecti el pensament de tothom, estimar amb matemàtiques (com sense elles) també requereix intimitat.

I cada alumne recull en un full “les meves estimacions”, anota breument el raonament que l’ha portat a aquesta estimació (si hi ha estimació, hi ha raonament). I mantenim la tensió abans de saber la resposta correcta comentant algunes estimacions i raonaments.

Captura de 2015-10-28 19:58:28

I en saber la resposta correcta la registrem al full, i calculem l’error absolut i l’error relatiu (en %), tot i que la majoria encara no saben que es diuen així.

I anem fent estimacions.

Captura de 2015-10-28 19:21:22

L’alçada d’un company.

Captura de 2015-10-28 19:23:53

L’alçada del Pere, professor de ciències, sabent l’alçada de l’Alejandro.

Captura de 2015-10-28 19:26:03

O la mitjana d’alçada d’aquestes persones.

Captura de 2015-10-28 19:26:13

O qualsevol de les 220 propostes que hi ha a estimation180, web del projecte original que afusellaré aquest curs adaptant-lo tant com pugui a l’entorn dels meus alumnes i els continguts que m’interessin.

I passen els dies i volem saber qui estima millor fins al moment. I es provoca una interessant conversa sobre l’error, necessitem l’error relatiu.

I després resulta que 220 propostes són poques.

Nosaltres podem proposar noves imatges?

Nota al peu: Tot plegat no és per passar-nos-ho bé, que també, sinó perquè ho diu el beneït currículum.

Crèdits: estimation180, DIEC.

L’activitat s’encen ràpid:

En aquesta graella hi ha 15 idees relacionades amb les matemàtiques i amb el fet d’aprendre matemàtiques. Tria la que et sembli i explica perquè l’has triada.

Conèixer les percepcions que tenen els meus alumnes sobre les matemàtiques i les seves experiències personals com a aprenents de matemàtiques és important per mi. Per això, des de fa tres anys, enlloc d’iniciar el curs preguntant què saben, m’estimo més dedicar la primera sessió a preguntar “com ets” a classe de Matemàtiques. Així doncs, aquest curs els proposaré començar amb una conversa a partir d’aquestes 15 idees, falses en alguns casos, subjectives en d’altres…

Faré servir una dinàmica d’aula similar al seminari socràtic. Posarem les cadires en rotllana, de manera que tothom vegi la cara de tothom, i jo em situaré fora. Els explicaré el kit de supervivència per dialogar a l’aula i faré de moderador mirant d’intervenir tan poc com sigui possible.

Bon inici a tothom!

Crèdits: Activitat inspirada en una de High Tech High vista al documental Most likely to succeed.

15/09/15. En Magí Barneda:

ens hem permés el luxe de fer un diàleg socràtic a la primera classe de mates a 3r d’ESO amb el teu material web! Fantàstic!

22/09/15. La Betlem Cuesta adapta l’activitat pels seu curs de Català per l’accés a cicles de Grau superior. Totes les matèries tenen les seves controvèrsies, posar-les sobre la taula per discutir “si ens entenem en castellà no veig perquè hem d’aprendre català”, o si “el rap és poesia”, o si “llegir et fa més lliure” em sembla un punt de sortida magnífic. Aquí el seu guió d’aula.

Captura de 2015-10-02 10:29:24

El Ramon Paraíso també l’adapta, en aquesta ocasió pels seus alumnes de ciències socials del CFA Dolors Paul.

Captura de 2015-10-02 10:47:40

Després de motivar l’estudi de l’àlgebra, introduir l’ús del llenguatge matemàtic per parlar de quantitats desconegudes, i crear la necessitat de generalitzar i de manipular expressions algebraiques, ara investiguem noves generalitzacions de patrons visuals.

El primer patró l’he conduit jo, ara els toca a ells entomar-lo des de l’inici, i per això proporciono una guia que ajudi a ordenar les seves estratègies. Donat un patró visual, l’objectiu és trobar una expressió algebraica que a partir del pas (n) em doni el nombre d’objectes (quadrats, cubs, triangles, costats…).

Proposo un patró senzill i convido a seguir les preguntes de la Fawn Nguyen.

1. Com és el següent pas del patró? Dibuixa’l.
2. Fes un croquis del pas 43.
3. Completa la taula que relaciona el pas amb el nombre de quadrats.
4. Quina és l’expressió algebraica?

Aquestes preguntes guien el procés d’abstracció, i certament es de gran ajuda, però tinc la sensació que és convenient no forçar a seguir aquesta guia si no es vol, donat que cada alumnx té estratègies de resolució ben diferents.

Arribats aquí proposo alguns patrons concrets per tal d’incrementar la dificultat progressivament.

Com per exemple aquests dos per mostrar la relació entre el pas i el creiexement del patró, així com el creixement quadràtic.
O aquest per introduir el creixement cúbic.

O aquest per fer sortir la suma dels n primer nombres, que no es resol d’una manera gaire intuïtiva, però que és una bellíssima interpretació visual de la demostració numèrica.
Arribats fins aquí explorem lliurement visualpatterns.org, individualment o per grups, com vulguin. De tant en tant demano si vol explicar-ne un a la pissarra.

Una metodologia que també em sol funcionar és donar a tothom el mateix full de patrons, com el de la imatge, posar-nos en grups i demanar que completin la taula de respostes a la pissarra a mesura que van descobrint expressions algebraiques, cosa que posa de manifest l’aprenentatge i ajuda a crear un clima de treball maco.

10/08/15. En Jordi Font m’envia un correu amb aquesta genial extensió:

Es pot fer una darrera part en la sessió proposada. Donar l’expressió algebraica i que siguin ells els que generen el patró: se n’adonen que hi ha diversos patrons amb una mateixa expressió algebraica. A partir d’aquí, es pot intentar cercar quines característiques geomètriques compateixen tots els models geomètrics mostrats a classe.

Crèdits: Abraham de la Fuente la idea primigènia. Fawn Nguyen la guia de l’alumnx i visualpatterns.org. Simon Greg el patró de ninots.

Quants quadrats hi ha al perímetre d’aquesta figura?
I si enlloc de tenir 6 quadrats de costat en tingués 7?
I si en tingués 8?
I si en tingués 43?

Arribats fins aquí s’indueix la necessitat d’usar un mètode, de generalitzar l’estratègia. Així doncs…

I si el costat tingués un nombre qualsevol de quadrats, posem per cas n quadrats, podríem expressar el nombre de quadrats del perímetre en funció de n?

Sí, poden i surten diverses expressions algebraiques fruit de les diferents estratègies d’aprenentatge de cadascú.

Si totes les expressions són correctes (es poden comprovar amb els casos anteriors), com és possible que surtin diferents expressions?

Les escrivim totes a la pissarra i surt un representant de cada expressió algebraica a explicar què ha pensat per arribar a aquesta solució.

Revisem conjuntament les explicacions dels representants, i també podem assegurar-nos de que totes són correctes donat comprovant els casos n=6, 7, 8 i 43 de l’inici.

I doncs, si totes les expressions algebraiques són correctes, per què són diferents?

Sabem que són iguals però no per què, es crea la necessitat de trobar un lligam entre les diferents expressions, de manipular-les algebraicament.

Arribats fins aquí, fixem la manipulació d’expressions algebraiques?

Crèdits: A partir d'una idea (més completa) de l'Abraham de la Fuente.

Després del primer contacte amb l’ús de símbols per representar quantitats, traduïm expressions literals a llenguatge matemàtic.

El doble d’una quantitat (2·n), o la meitat (n/2).
El següent nombre d’un nombre donat (n+1).
Un nombre multiplicat per quatre més tres (4·n+3).
Tres més un nombre tot multiplicat per dos ((3+n)·2).
La suma de tres nombres consecutius (n+1+n+2+n+3).
Un nombre multiplicat per si mateix (n·n, o n² si escau).

I segueixo amb aquesta petita activitat sense paraules per introduir el valor numèric:

Veieu aquesta taula?

Podeu fer dues coses, (1) sortir i col·locar un número nou o (2) si creieu que hi ha algun que estigui malament, sortir i corregir-lo. Us asseguro que els que hi són tots correctes.

Hi ha una regla d’or: silenci sepulcral. Fins i tot quan detecteu un error, l’única manera de corregir-lo és demanar torn i sortir a la pissarra.

Qui sàpiga col·locar un número que aixequi el braç. Algú vol començar?

Si ningú aixeca el braç, poso jo el primer número. Als meus alumnes els ha encantat aquesta activitat. I a mi també, es crea una dinàmica de participació molt maca.

L’inici de l’àlgebra és possiblement el moment en que més alumnes desconnecten per sempre més de les matemàtiques, el salt d’abstracció per representar  i operar amb quantitats desconegudes.

Una proposta d’aula en tres passos.

El primer:

Agafeu paper i boli.

Farem el típic truc de màgia d’endevinar un número, però avui el més important no serà el truc, sinó entendre perquè funciona. Diuen que un bon mag no revela mai els seus trucs, però això no és màgia, són matemàtiques [somriuen].

Penseu un número qualsevol, feu-vos venir bé, haureu de fer uns quants càlculs. És important que no digueu el vostre número a ningú fins al final.

Tothom té el número? Fulanito, quin número has triat? No t’he dit que no el diguessis a ningú fins al final!!?? Tria un altre! [somriuen]

Som-hi. Al “número que heu triat” sumeu-li 4. El que us hagi donat ho multipliqueu per 3. Resteu 6. Dividiu entre 3. Resteu el “número que havíeu triat”.

A la de 1, 2 i 3 tothom dirà el número que li ha donat el veu alta. 1, 2, 3!! Doooooooooooooooooooooooooos! [somriuen]

L’efecte no és per tirar coets, la majoria ja coneixen aquests tipus de trucs. Fins aquí la màgia, però ara comença la part més interessant: les matemàtiques.

Demano que es posin al meu lloc. Cadascú ha fet els seus càlculs, amb el “número que has triat”, fàcil, però… i jo? Com ho he fet? Com he pogut fer càlculs amb tots els “números que ells han triat”? Els dic:

No sóc mag, ni sóc més llest que vosaltres, però sé més matemàtiques [somriuen].

Explico que no puc fer tots els càlculs simultàniament, però sé com fer tots els càlculs en paral·lel.

No sé quin número heu triat cadascú de vosaltres, i alhora són diferents. Què us sembla si al “el nombre que heu triat” li diem x?

I resseguim els passos a la pissarra:

És la primera vegada que veuen el expressions algebraiques, els costa seguir alguns passos, però per qüestions procedimentals, en general ningú perd el fil del que estem fent, que és el que més m’interessa, perquè amb aquesta petita dinàmica (20 minuts) tan sols pretenc visualitzar la potència de l’àlgebra com a generalització de l’aritmètica, la possibilitat de realitzar infinits càlculs de cop, o dit d’una altra manera, operar amb quantitats desconegudes.

La màgia és matemàtica o les matemàtiques són màgiques? [somriuen]

Sabríeu fer el vostre truc de màgia?

Crèdits. Interpretació personal d’una idea de l’Anton Aubanell.

 30-8-15. Si ara tornés enrere representaria “el nombre que has triat” amb una capseta (◊) on està ficat el nombre.

Tinc els mateixos alumnes que el curs passat, i ells el mateix professor. Ens coneixem, i a diferència del que varem fer el curs passat, ja no té el mateix valor iniciar el curs preguntant-los com es senten quan fan matemàtiques.

Enguany m’ha semblat oportú dedicar uns minuts a evocar aspectes desitjables del passat, a rememorar algunes de les coses positives que han passat a les nostres classes, coses que m’agradaria que tornessin a passar, i que sé (o crec que sé) que ells també gaudiran. He aprofitat doncs la primera sessió per demanar-los (de nou) el seu compromís i el seu esforç. He volgut recordar-los que el que és possible a classe ho és gràcies a ells.

M’he ajudat d’aquesta breu presentació.

Hem parlat de l’avaluació, de la diferencia entre avaluar i posar notes, i els he suggerit uns consells en cas que els interessi saber com aprendre més i millor a les meves classes. El proper dia penjarem un pòster a l’aula que ens acompanyarà tot el curs.

Després hem jugat el joc del 24 per refrescar la musculatura matemàtica recordant la prioritat de les operacions, i ens ho hem passat sorollosament bé.

Avui estreno etiqueta: 2n ESO 😉