Aquest trimestre estic fent un projecte a 3r d’ESO que es diu Clepsidra. El nom és un tribut a la idea original d’en Carlos Morales Socorro, un professor que val la pena googlejar, i de qui sempre m’ha semblat que és poc conegut comparat amb la qualitat del que fa. Inspirats en aquest complet document la meva companya Blanca i jo l’hem adaptat al nostre context.

Aquesta és la descripció del projecte:

En aquest projecte ens proposem mesurar el temps. Construirem una clepsidra, un rellotge d’aigua. Treballarem com a científics i científiques, no ens creurem res que no puguem demostrar. Experimentarem i recollirem dades, ajustarem un model matemàtic a les dades recollides, analitzarem la validesa, calibrarem el rellotge i finalment comprovarem el seu funcionament. Demanarem a familiars i amics que validin els vostres descobriments, per això els farem arribar un informe descriptiu del procés de treball.

Aquest és el Document d’inici de projecte que conté la informació bàsica del projecte. El donem als nois i noies el primer dia.

I aquests altres documents són útils en algun moment del procés de treball:

Aquí hi ha fotografies d’aula del procés de treball:
https://www.flickr.com/photos/ielesvinyes/albums/72157676208554940

Estic aprenent coses interessants en aquest projecte, fa dies que hi penso i em ronda pel cap un post que possiblement no escriuré mai, i que es titularia Fer ciència amb rigor màxim i eines mínimes. En aquest post divagaria sobre dues idees:

  1. Es pot fer ciència i matemàtiques amb rigor màxim i eines mínimes (tant cognitives com físiques). Sovint confonem el rigor amb el formalisme, el primer és pura dinamita, el segon pur avorriment.
  2. La controvèrsia entre metodologies #abp i Matemàtiques. La idea tan boja aquesta de que els projectes són interessants però que no són un context apropiat per aprendre matemàtiques de veritat.

 

Després de motivar l’estudi de l’àlgebra, introduir l’ús del llenguatge matemàtic per parlar de quantitats desconegudes, i crear la necessitat de generalitzar i de manipular expressions algebraiques, ara investiguem noves generalitzacions de patrons visuals.

El primer patró l’he conduit jo, ara els toca a ells entomar-lo des de l’inici, i per això proporciono una guia que ajudi a ordenar les seves estratègies. Donat un patró visual, l’objectiu és trobar una expressió algebraica que a partir del pas (n) em doni el nombre d’objectes (quadrats, cubs, triangles, costats…).

Proposo un patró senzill i convido a seguir les preguntes de la Fawn Nguyen.

1. Com és el següent pas del patró? Dibuixa’l.
2. Fes un croquis del pas 43.
3. Completa la taula que relaciona el pas amb el nombre de quadrats.
4. Quina és l’expressió algebraica?

Aquestes preguntes guien el procés d’abstracció, i certament es de gran ajuda, però tinc la sensació que és convenient no forçar a seguir aquesta guia si no es vol, donat que cada alumnx té estratègies de resolució ben diferents.

Arribats aquí proposo alguns patrons concrets per tal d’incrementar la dificultat progressivament.

Com per exemple aquests dos per mostrar la relació entre el pas i el creiexement del patró, així com el creixement quadràtic.
O aquest per introduir el creixement cúbic.

O aquest per fer sortir la suma dels n primer nombres, que no es resol d’una manera gaire intuïtiva, però que és una bellíssima interpretació visual de la demostració numèrica.
Arribats fins aquí explorem lliurement visualpatterns.org, individualment o per grups, com vulguin. De tant en tant demano si vol explicar-ne un a la pissarra.

Una metodologia que també em sol funcionar és donar a tothom el mateix full de patrons, com el de la imatge, posar-nos en grups i demanar que completin la taula de respostes a la pissarra a mesura que van descobrint expressions algebraiques, cosa que posa de manifest l’aprenentatge i ajuda a crear un clima de treball maco.

10/08/15. En Jordi Font m’envia un correu amb aquesta genial extensió:

Es pot fer una darrera part en la sessió proposada. Donar l’expressió algebraica i que siguin ells els que generen el patró: se n’adonen que hi ha diversos patrons amb una mateixa expressió algebraica. A partir d’aquí, es pot intentar cercar quines característiques geomètriques compateixen tots els models geomètrics mostrats a classe.

Crèdits: Abraham de la Fuente la idea primigènia. Fawn Nguyen la guia de l’alumnx i visualpatterns.org. Simon Greg el patró de ninots.

Quants quadrats hi ha al perímetre d’aquesta figura?
I si enlloc de tenir 6 quadrats de costat en tingués 7?
I si en tingués 8?
I si en tingués 43?

Arribats fins aquí s’indueix la necessitat d’usar un mètode, de generalitzar l’estratègia. Així doncs…

I si el costat tingués un nombre qualsevol de quadrats, posem per cas n quadrats, podríem expressar el nombre de quadrats del perímetre en funció de n?

Sí, poden i surten diverses expressions algebraiques fruit de les diferents estratègies d’aprenentatge de cadascú.

Si totes les expressions són correctes (es poden comprovar amb els casos anteriors), com és possible que surtin diferents expressions?

Les escrivim totes a la pissarra i surt un representant de cada expressió algebraica a explicar què ha pensat per arribar a aquesta solució.

Revisem conjuntament les explicacions dels representants, i també podem assegurar-nos de que totes són correctes donat comprovant els casos n=6, 7, 8 i 43 de l’inici.

I doncs, si totes les expressions algebraiques són correctes, per què són diferents?

Sabem que són iguals però no per què, es crea la necessitat de trobar un lligam entre les diferents expressions, de manipular-les algebraicament.

Arribats fins aquí, fixem la manipulació d’expressions algebraiques?

Crèdits: A partir d'una idea (més completa) de l'Abraham de la Fuente.

Després del primer contacte amb l’ús de símbols per representar quantitats, traduïm expressions literals a llenguatge matemàtic.

El doble d’una quantitat (2·n), o la meitat (n/2).
El següent nombre d’un nombre donat (n+1).
Un nombre multiplicat per quatre més tres (4·n+3).
Tres més un nombre tot multiplicat per dos ((3+n)·2).
La suma de tres nombres consecutius (n+1+n+2+n+3).
Un nombre multiplicat per si mateix (n·n, o n² si escau).

I segueixo amb aquesta petita activitat sense paraules per introduir el valor numèric:

Veieu aquesta taula?

Podeu fer dues coses, (1) sortir i col·locar un número nou o (2) si creieu que hi ha algun que estigui malament, sortir i corregir-lo. Us asseguro que els que hi són tots correctes.

Hi ha una regla d’or: silenci sepulcral. Fins i tot quan detecteu un error, l’única manera de corregir-lo és demanar torn i sortir a la pissarra.

Qui sàpiga col·locar un número que aixequi el braç. Algú vol començar?

Si ningú aixeca el braç, poso jo el primer número. Als meus alumnes els ha encantat aquesta activitat. I a mi també, es crea una dinàmica de participació molt maca.

L’inici de l’àlgebra és possiblement el moment en que més alumnes desconnecten per sempre més de les matemàtiques, el salt d’abstracció per representar  i operar amb quantitats desconegudes.

Una proposta d’aula en tres passos.

El primer:

Agafeu paper i boli.

Farem el típic truc de màgia d’endevinar un número, però avui el més important no serà el truc, sinó entendre perquè funciona. Diuen que un bon mag no revela mai els seus trucs, però això no és màgia, són matemàtiques [somriuen].

Penseu un número qualsevol, feu-vos venir bé, haureu de fer uns quants càlculs. És important que no digueu el vostre número a ningú fins al final.

Tothom té el número? Fulanito, quin número has triat? No t’he dit que no el diguessis a ningú fins al final!!?? Tria un altre! [somriuen]

Som-hi. Al “número que heu triat” sumeu-li 4. El que us hagi donat ho multipliqueu per 3. Resteu 6. Dividiu entre 3. Resteu el “número que havíeu triat”.

A la de 1, 2 i 3 tothom dirà el número que li ha donat el veu alta. 1, 2, 3!! Doooooooooooooooooooooooooos! [somriuen]

L’efecte no és per tirar coets, la majoria ja coneixen aquests tipus de trucs. Fins aquí la màgia, però ara comença la part més interessant: les matemàtiques.

Demano que es posin al meu lloc. Cadascú ha fet els seus càlculs, amb el “número que has triat”, fàcil, però… i jo? Com ho he fet? Com he pogut fer càlculs amb tots els “números que ells han triat”? Els dic:

No sóc mag, ni sóc més llest que vosaltres, però sé més matemàtiques [somriuen].

Explico que no puc fer tots els càlculs simultàniament, però sé com fer tots els càlculs en paral·lel.

No sé quin número heu triat cadascú de vosaltres, i alhora són diferents. Què us sembla si al “el nombre que heu triat” li diem x?

I resseguim els passos a la pissarra:

És la primera vegada que veuen el expressions algebraiques, els costa seguir alguns passos, però per qüestions procedimentals, en general ningú perd el fil del que estem fent, que és el que més m’interessa, perquè amb aquesta petita dinàmica (20 minuts) tan sols pretenc visualitzar la potència de l’àlgebra com a generalització de l’aritmètica, la possibilitat de realitzar infinits càlculs de cop, o dit d’una altra manera, operar amb quantitats desconegudes.

La màgia és matemàtica o les matemàtiques són màgiques? [somriuen]

Sabríeu fer el vostre truc de màgia?

Crèdits. Interpretació personal d’una idea de l’Anton Aubanell.

 30-8-15. Si ara tornés enrere representaria “el nombre que has triat” amb una capseta (◊) on està ficat el nombre.